รูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยม เป็นหนึ่งในรูปร่างพื้นฐานในเรขาคณิต คือรูปหลายเหลี่ยมซึ่งมี 3 มุมหรือจุดยอด และมี 3 ด้านหรือขอบที่เป็นส่วนของเส้นตรง รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด A, B, และ C เขียนแทนด้วย  ABC

ในเรขาคณิตแบบยุคลิด จุด 3 จุดใดๆ ที่ไม่อยู่ในเส้นตรงเดียวกัน จะสามารถสร้างรูปสามเหลี่ยมได้เพียงรูปเดียว และเป็นรูปที่อยู่บนระนาบเดียว (เช่นระนาบสองมิติ)

กำหนดการเชิงเส้น

กำหนดการเชิงเส้น เป็นคณิตศาสตร์ประยุกต์แขนงหนึ่งที่คิดค้นขึ้น เพื่อแก้ปัญหาให้เป็นไปตามจุดประสงค์ของมนุษย์ โดยมีแนวคิดที่ว่า ให้เพียงพออย่างสูงสุดในทรัพยากรที่มีจำกัด สามารถใช้คำนวณเพื่อแก้ปัญหาได้หลายอย่าง เช่น คำนวณการผลิตสินค้าให้ได้มากที่สุด แต่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด,หาวิธีการเคลื่อนย้ายทหารให้มากที่สุดโดยที่เสียค่าใช้จ่ายน้อยที่สุด, ผลิตสินค้าจำนวนน้อยที่สุด แต่ทำกำไรได้มากที่สุด หรือหาว่า หากบริษัทหนึ่งผลิตสินค้า 2 ประเภท ต้องผลิตอย่างละกี่ชิ้นจึงจะได้กำไรสูงสุด เป็นต้น

กำหนดการเชิงเส้น จะอยู่ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์ของสมการเชิงเส้นและอสมการเชิงเส้น แล้วหาค่าสูงสุด ต่ำสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมการ (และอสมการ) ที่กำหนด ตัวแบบคณิตศาสตร์ประกอบด้วย

ฟังก์ชันเชิงเส้น เป็นสมการที่สร้างให้ตรงกับจุดประสงค์ที่ต้องการ เรียกฟังก์ชันนี้ว่า ฟังก์ชันเป้าหมาย โดยจะตั้งสมการขึ้นเพื่อหาค่าสูงสุด หรือต่ำสุด ขึ้นอยู่กับตัวแปร เช่น D = 15x+20y
เงื่อนไขจำกัด (เงื่อนไขบังคับ) ได้แก่อสมการ หรือสมการที่เป็นเงื่อนไขที่กำหนดให้ เป็นเงื่อนไขที่ถูกจำกัดของทรัพยากร หรือตัวแปร เช่น 2x+y=0 , y>=0,x+2y<=80
[แก้] การแก้ปัญหาโจทย์กำหนดการเชิงเส้นกำหนดตัวแปรที่ใช้ในฟังก์ชันเป้าหมายว่า x แทนตัวแปรอะไร y แทนตัวแปรอะไร
สร้างฟังก์ชันเป้าหมายให้สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ โดยเขียนแบบจำลองทางคณิตศาสตร์
สร้างเงื่อนไขบังคับตามข้อมูลที่โจทย์สั่ง
หาผลลัพธ์โดยวิธีที่ดีและง่ายที่สุดคือ การเขียนกราฟตามเงื่อนไขบังคับ
เมื่อเขียนกราฟแล้ว ให้แรเงาอาณาบริเวณที่เป็นไปได้ ต่อไปให้หาผลลัพธ์ หรือคำตอบที่ดีที่สุดจากคำตอบในอาณาบริเวณที่แรเงานี้ โดยการแทนค่าจุดยอดมุมของรูปเหลี่ยมที่ปิดล้อมบริเวณที่แรเงาไว้ ส่วนที่แรเงาของกราฟ จะเป็นคำตอบที่เป็นไปได้ และค่า (x,y) ที่ทำให้ฟังก์ชันเชิงเส้นมีค่าสูงสุด จะเรียกว่า คำตอบที่เหมาะสมที่สุด
หาพิกัด (x,y) ที่เป็นจุดตัดของกราฟ นำแต่ละจุดไปแทนค่าในฟังก์ชันเป้าหมาย จะได้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามต้องการ

แคลลูลัส

แคลคูลัส เป็นสาขาหลักของคณิตศาสตร์ซึ่งพัฒนามาจากพีชคณิต เรขาคณิต และปัญหาทางฟิสิกส์ แคลคูลัสมีต้นกำเนิดจากสองแนวคิดหลัก ดังนี้

แนวคิดแรกคือ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ (Differential Calculus) เป็นทฤษฎีที่ว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลง และเกี่ยวข้องกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ตัวอย่างเช่น การหา ความเร็ว, ความเร่ง หรือความชันของเส้นโค้ง บนจุดที่กำหนดให้. ทฤษฎีของอนุพันธ์หลายส่วนได้แรงบันดาลใจจากปัญหาทางฟิสิกส์

แนวคิดที่สองคือ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ (Integral Calculus) เป็นทฤษฎีที่ได้แรงบันดาลใจจากการคำนวณหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงทางเรขาคณิตต่าง ๆ. ทฤษฎีนี้ใช้กราฟของฟังก์ชันแทนรูปทรงทางเรขาคณิต และใช้ทฤษฎีปริพันธ์ (หรืออินทิเกรต) เป็นหลักในการคำนวณหาพื้นที่และปริมาตร

ทั้งสองแนวคิดที่กำเนิดจากปัญหาที่ต่างกันกลับมีความสัมพันธ์กันลึกซึ้ง โดยทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสกล่าวว่า แท้จริงแล้วทฤษฎีทั้งสองเปรียบเสมือนเป็นด้านทั้งสองของเหรียญอันเดียวกัน นั่นคือเป็นสิ่งเดียวกันเพียงแต่มองคนละมุมเท่านั้น (โดยคร่าว ๆ เรากล่าวได้ว่าอนุพันธ์และปริพันธ์เป็นฟังก์ชันผกผันของกันและกัน). ในการสอนแคลคูลัสเพื่อความเข้าใจตัวทฤษฎีอย่างลึกซึ้ง ควรกล่าวถึงทั้งสองทฤษฎีและความสัมพันธ์นี้ก่อน แต่การศึกษาในปัจจุบันมักจะกล่าวถึงแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก่อนเพียงอย่างเดียว เนื่องจากนำไปใช้งานได้ง่ายกว่า

อนึ่ง การศึกษาแคลคูลัสอย่างละเอียดในเวลาต่อมา ได้ทำให้เกิดศาสตร์ใหม่ ๆ ทางคณิตศาสตร์มากมาย เช่น คณิตวิเคราะห์ และ ทฤษฎีการวัด เป็นต้น

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน (อังกฤษ: standard deviation: s.d.) ในทางสถิติศาสตร์และความน่าจะเป็น เป็นการวัดการกระจายแบบหนึ่งของกลุ่มข้อมูล สามารถนำไปใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น ตัวแปรสุ่ม ประชากร หรือมัลติเซต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมักเขียนแทนด้วยอักษรกรีกซิกมาตัวเล็ก (σ) นิยามขึ้นจากส่วนเบี่ยงเบนแบบ root mean square (RMS) กับค่าเฉลี่ย หรือนิยามขึ้นจากรากที่สองของความแปรปรวน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดค้นโดย ฟรานซิส กาลตัน (Francis Galton) ในช่วงปลายคริสต์ทศวรรษ 1860 [1] เป็นการวัดการกระจายทางสถิติที่เป็นปกติทั่วไป ใช้สำหรับเปรียบเทียบว่าค่าต่างๆ ในเซตข้อมูลกระจายตัวออกไปมากน้อยเท่าใด หากข้อมูลส่วนใหญ่อยู่ใกล้ค่าเฉลี่ยมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่าน้อย ในทางกลับกัน ถ้าข้อมูลแต่ละจุดอยู่ห่างไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นส่วนมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะมีค่ามาก และเมื่อข้อมูลทุกตัวมีค่าเท่ากันหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ นั่นคือไม่มีการกระจายตัว คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์อย่างหนึ่งก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้หน่วยอันเดียวกันกับข้อมูล แต่กับความแปรปรวนนั้นไม่ใช่

เมื่อตัวอย่างของข้อมูลกลุ่มหนึ่งถูกเลือกมาจากประชากรทั้งหมด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากรสามารถประมาณค่าได้จากค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างนั้น

จำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อน (อังกฤษ : complex number) ในทางคณิตศาสตร์ คือ เซตที่ต่อเติมจากเซตของจำนวนจริงโดยเพิ่มจำนวน ซึ่งทำให้สมการ เป็นจริง และหลังจากนั้นเพิ่มสมาชิกตัวอื่นๆ เข้าไปจนกระทั่งเซตที่ได้ใหม่มีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณ จำนวนเชิงซ้อน ทุกตัวสามารถเขียนอยู่ในรูป โดยที่ และ เป็นจำนวนจริง โดยเราเรียก และ ว่าส่วนจริง (real part) และส่วนจินตภาพ (imaginary part) ของ ตามลำดับ

เซตของจำนวนเชิงซ้อนทุกตัวมักถูกแทนด้วยสัญลักษณ์ จากนิยามข้างต้นเราได้ว่าเซตของจำนวนจริงเป็นสับเซตของเซตของจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นจำนวนจริงทุกตัวเป็นจำนวนเชิงซ้อน เราสามารถบวก ลบ คูณ และหารสมาชิกสองตัวใดๆ ของเซตของจำนวนเชิงซ้อนได้ (เว้นแต่ในกรณีที่ตัวหารคือศูนย์) และผลลัพธ์ที่ได้จำเป็นจำนวนเชิงซ้อนเสมอ ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์เราจึงกล่าวว่าเซตของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟีลด์ นอกจากนี้เซตของจำนวนเชิงซ้อนยังมีสมบัติปิดทางพีชคณิต (algebraically closed) กล่าวคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะมีราก (พหุนาม)เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วย สมบัตินี้เป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทมูลฐานของพีชคณิต

นอกจากนี้ ในทางคณิตศาสตร์แล้วคำว่า “เชิงซ้อน” ถูกใช้เป็นคำคุณศัพท์ที่มีความหมายว่าฟีลด์ของตัวเลขที่เราสนใจคือฟีลด์ของจำนวนเชิงซ้อน ยกตัวอย่างเช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน, พหุนามเชิงซ้อน, แมทริกซ์เชิงซ้อน, และพีชคณิตลีเชิงซ้อน เป็นต้น

การสำรวจความคิดเห็นหรือโพล(poll)

การสำรวจความคิดเห็นหรือโพล (poll) เป็นวิธีเก็บรวบรวมข้อมูล โดยการติดต่อโดยตรงกับผู้ให้ข้อมูลหรือผู้ตอบ จากการศึกษาประวัติความเป็นมาพบว่า มนุษย์ชาติได้ใช้การสำรวจความคิดเห็นมาเป็นเวลานานตั้งแต่สมัยโรมและอียิปต์ โดยพบหลักฐานมีการทำสำมะโนประชากร ซึ่งเป็นการทำสำมะโนประชากรทั้งหมด เพื่อจะนำข้อมูล/ข่าวสารที่ได้ไปใช้ในการเก็บภาษี เกณฑ์ทหาร และใช้ในวัตถุประสงค์ทางด้านการบริหารอื่นๆ
ความคิดเห็นอย่างง่าย ไว้ในกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ลักษณะสำคัญของการสำรวจโดยการสุ่มตัวอย่าง คือ การใช้แบบสอบถาม หรือแบบสัมภาษณ์ ซึ่งอาจกระทำได้หลายวิธี เช่น ให้ผู้ตอบกรอกข้อมูลเอง หรือตอบการสัมภาษณ์ เป็นต้น ดังนั้น การสำรวจการสำรวจจึงเหมาะสำหรับรวบรวมข้อมูลจากหน่วยวิเคราะห์ที่เป็นบุคคล

ลำดับ

ลำดับ (Sequence) คือ ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นสับเซตของจำนวนเต็มบวก และ
มีเรนจ์เป็นเซตของจำนวนจริง โดย
ถ้าโดเมนเท่ากับ {1, 2, 3, …, n} จะเรียกลำดับนั้นว่า ลำดับจำกัด
ถ้าโดเมนเท่ากับ {1, 2, 3, …} จะเรียกลำดับนั้นว่า ลำดับอนันต์

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นวิธีการให้เหตุผลโดยสรุปจากเหตุ

หลาย ๆ เหตุโดยถือหลักความจริงของเหตุจากส่วนย่อยหรือส่วนเฉพาะ

ไปสู่การสรุปความจริงที่เป็นส่วนใหญ่ หรือส่วนรวโดยที่เหตุผลลักษณะ

นี้จะประกอบไปด้วย ข้อความ 2 กลุ่มคือ ข้อความที่เป็นส่วนของเหตุ

และข้อความที่เป็นข้อสรุป โดยกลุ่มของข้อความที่เป็นเหตุจะทำให้เกิด

ข้อสรุปของข้อความในกลุ่มหลังเราสามารถกล่าวได้ว่าการให้เหตุผล-

แบบอุปนัยมีลักษณะการนำความรู้ที่ได้จากการตัดสินใจจากประสบการณ์

หลาย ๆครั้ง การสังเกต หรือการทดลองหลาย ๆ ครั้งมาเป็นเหตุย่อย

หรือสมมติฐานต่าง ๆ แล้วนำมาสรุปเป็นคุณสมบัติของส่วนรวมทั้งหมด

เป็นข้อความหรือความรู้ทั่วไปซึ่งจะครอบคลุมไปถึงสิ่งที่ยังไม่มีประสบ-

การณ์หรือยังไม่ได้กล่าวอีกด้วย

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)
            การให้เหตุผลแบบนิรนัยเกิดจากการมีสมมติฐานทั่วไปและตามด้วยสมมติฐานเฉพาะย่อยๆ ไปเรื่อยๆ ความสัมพันธ์ระหว่างสมมติฐานทั่วไป และสมมติฐานเฉพาะจะก่อให้เกิดผลสรุปเฉพาะ โดยต้องยอมรับว่าสมมติฐานทุกสมมติฐานเป็นข้อความที่เป็นจริง เพื่อหาเหตุผลนำไปสู่ข้อสรุป
            ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบนิรนัย

1.  เหตุ  1) จำนวนคู่หมายถึงจำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัว           2.  เหตุ  1) คนทุกคนต้องตาย
        2) 10 หารด้วย 2 ลงตัว                                      2) นายวิชาเป็นคน
      ผล  10  เป็นจำนวนคู่                                        ผล  นายวิชาต้องตาย                         
             สมเหตุสมผล                                                         สมเหตุสมผล

3.  เหตุ  1) นักกีฬากลางแจ้งทุกคนจะต้องมีสุขภาพดี             4.  เหตุ  1) นกทุกตัวบินได้
        2) เกียรติศักดิ์เป็นนักฟุตบอลทีมชาติไทย                       2) ค้างคาวเป็นนก
     ผล   เกียรติศักดิ์มีสุขภาพดี                            ผล  ค้างคาวบินได้                           
                     สมเหตุสมผล                                                                                 สมเหตุสมผล

            จากตัวอย่างการยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วจึงหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับแล้วนั้น ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปผลได้อย่างสมเหตุสมผล (valid) เช่น

  เหตุ    1) เรือทุกลำลอยน้ำได้     
        2) ถังน้ำพลาสติก ลอยน้ำได้
                  ผล    ถังน้ำพลาสติกเป็นเรือ                            

การสรุปผลจากข้างต้นไม่สมเหตุสมผล แม้ว่าข้ออ้างหรือเหตุทั้งสองข้อจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่าเรือทุกลำลอยน้ำ
ได้ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นๆ ที่ลอยน้ำได้จะต้องเป็นเรือเสมอไป ข้อสรุปดังกล่าวข้างต้นจึงเป็นการสรุปไม่สมเหตุสมผล

        ข้อสังเกต        การให้เหตุผลแบบนิรนัยนั้น ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ
                                1)  ยอมรับว่าเหตุเป็นจริงทุกข้อ
                                 2)  การสรุปผลสมเหตุสมผล

ตัวอย่างการให้เหตุผล

1.  เหตุ  1) นายธนาคารทุกคนเป็นคนรวย                    
        2) นายอภิศักดิ์ เป็นนายธนาคาร                                     
   ผล    นายอภิศักดิ์ เป็นคนรวย            

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง

เลขยกกำลัง  ที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนเต็ม เมื่อเราต้องการกระจายเลขยกกำลังเราสามารถทำได้ดังนี้

    นิยาม   ถ้า  a เป็นจำนวนใด ๆ และ  n   เป็นจำนวนเต็มบวก

                                         

                                                            โดยที่   a  มีจำนวนทั้งหมด  n  ตัว

 

                                         

 

                          a  เป็นจำนวนเต็มบวก           n  เป็น  เลขชี้กำลัง    

                           อ่านว่า       เอ   ยกกำลัง   เอ็น         หรือ         เอ  กำลัง   เอ็น        

 

                               ( 5 คูณกัน  4  ตัว )

 

สังเกต การที่  เราจะดูว่า จำนวนใดที่ยกกำลังและคูณกันอยู่  ให้มอง   a    เป็นกลุ่มตัวเลข

                                                        

     ดังเช่น

     

                          ( มอง 4 ให้เป็นกลุ่ม แล้วกระจาย   เท่ากับเลขชี้  กำลัง คือ 6  )

                          เครื่องหมายลบ นอกวงเล็บก้ามปู เป็นเครื่องหมายลบของทั้งกลุ่มใหญ่                         

 

       

 

                         (มอง  ให้เป็นกลุ่ม  แล้วกระจาย เท่ากับเลขชี้ กำลัง คือ 3 )

 

                          ( มอง   ให้เป็นกลุ่ม   แล้วกระจาย เท่ากับเลขชี้ กำลัง คือ 3 )

                          จำนวนเต็ม  7 นอกวงเล็บก้ามปู ทำการคูณอยู่กับ  ทั้งกลุ่มใหญ่

 

 

   

                          ( มอง  (-4) ให้เป็นกลุ่ม   แล้วกระจาย เท่ากับเลขชี้ กำลัง คือ  4 )

                          เครื่องหมายลบ นอกวงเล็บก้ามปู เป็นเครื่องหมายลบของทั้งกลุ่มใหญ่

                              

                         ( มอง  (3) ให้เป็นกลุ่ม  แล้วกระจาย เท่ากับเลขชี้ กำลัง คือ  6 )

                         ( มอง  (-2) ให้เป็นกลุ่ม  แล้วกระจาย เท่ากับเลขชี้ กำลัง คือ  5 )

                         เครื่องหมายลบ นอกวงเล็บก้ามปู เป็นเครื่องหมายลบของทั้งกลุ่มใหญ่

ผลคูณคาร์ทีเซียน

 ผลคูณคาร์ทีเซียน (Cartesion product)                                  

  ผลคูณคาร์ทีเซียน ของ เซท A และ B คือ

    เซตของคู่อันดับ ที่มีสมาชิกตัวหน้าเป็นเซตของ A

                             และสมาชิกตัวหลังเป็นเซตของ B                                        

 

เขียนแทนด้วย  A X B  อ่านว่า เอ คูณ บี หรือ เอ ครอส ( cross) บี

 เขียน แทนด้วยภาษาคณิตศาสตร์เพื่อความเข้าใจที่ตรงกัน

 

 คือ      

 

 และเมื่อ B เป็นเซตว่าง จะทำให้ ค่า A X B เท่ากับเซตว่าง 

                   

 

สรุป อย่างภาษาง่าย ๆเราจะได้ ว่า   เซต A คูณ เซต B

 จะได้คู่อันดับ ซึ่งมีสมาชิกตัวแรกเป็นสมาชิก จากเซต A 

             และสมาชิกตัวที่สอง เป็นสมาชิก จากเซต B

คู่อันดับ

ในชีวิตประจำวัน มีความเกี่ยวข้องกับคู่อันดับอยู่เสมอ เช่น เมื่อเราไปซื้อของจะ

มีการจับคู่ของที่ซื้อกับราคา หรือในรายการอาหารที่จะเห็นว่าส่วนมากจะพิมพ์ชื่อ

อาหารคู่กับราคา สิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นลักษณะของคู่อันดับ ถ้าเราจับคู่ระหว่างบิดากับบุตรี

แล้วเขียนในวงเล็บ เช่น (ดำ,มาลี)(แดง,สุดา),(ขาว,มีนา) สิ่งเหล่านี้คือคู่อันดับแต่ละ

คู่ประกอบด้วยสมาชิกสองตัว คือสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลัง หรือสมาชิกตัว

ที่หนึ่งกับสมาชิกตัวที่สอง การเป็นสมาชิกตัวที่หน้าและสมาชิกตัวหลังจะแสดงอันดับ

ซึ่งมีความสำคัญมาก ดังจะเห็นได้จากคู่อันดับที่ยกตัวอย่างมา (ดำ,มาลี) เราถือว่า

สมาชิกตัวหน้าเป็นบิดา และตัวหลังเป็นบุตรี แต่ถ้าเราสลับเป็น(มาลึ,ดำ) สิ่งที่ได้มา

จะผิดความหมายจากที่เรากำหนดให้เดิม

     ดังนั้นสิ่งสำคัญในการเป็นคู่อันดับก็คือ จะต้องเป็นคู่และมีอันดับในคณิตศาสตร์มักจะ

เขียนคู่อันดับในรูป(a,b) โดยที่ a เป็นสมาชิกตัวหน้า และ b เป็นสมาชิกตัวหลัง

(a,b) และ (b,a) จะไม่เท่ากัน นอกจาก a=b เท่านั้น หรือ (a,b) =(c,d) ก็ต่อเมื่อ

a=c และ b=d

สมการกำลังสาม

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสาม คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 3 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสามคือ

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการกำลังสอง) โดยปกติแล้ว คือสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนจริง ฟังก์ชันของสมการกำลังสามสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งคล้ายตัว S หรือ N

สมการกำลังสอง

ในทางคณิตศาสตร์ สมการกำลังสอง (สมการควอดราติก) คือสมการของพหุนามตัวแปรเดียวที่มีดีกรีเท่ากับ 2 รูปแบบทั่วไปของสมการกำลังสองคือ

เมื่อ a ≠ 0 (ถ้า a = 0 สมการนี้จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น) ซึ่ง a, b อาจเรียกว่าเป็นสัมประสิทธิ์ของ x², x ตามลำดับ ส่วน c คือสัมประสิทธิ์คงตัว บางครั้งเรียกว่าพจน์อิสระหรือพจน์คงตัว ฟังก์ชันของสมการกำลังสองสามารถวาดกราฟบนระบบพิกัดคาร์ทีเซียนได้รูปเส้นโค้งพาราโบลา

เมทริกซ์

กลศาสตร์เมทริกซ์ (อังกฤษ: Matrix mechanics) เป็นวิธีการที่คิดค้นโดย แวร์เนอร์ ไฮเซนแบร์ก (Werner Heisenberg), แมกซ์ บอร์น (Max Born), และ ปาสควาล จอร์ดาน (Pascual Jordan) เมื่อ ค.ศ. 1925 เพื่อมาใช้อธิบายกลศาสตร์ควอนตัม

กลศาสตร์เมทริกซ์ มีที่มาจากการค้นพบว่า ตำแหน่งและโมเมนตัมของอนุภาค แทนด้วยสัญลักษณ์ X(t) และ P(t) ตามลำดับ สามารถเขียนอยู่ในรูปเมทริกซ์ ไม่จำกัด (infinite matrix) X และ P โดยที่ตัวเลขในเมทริกซ์ Xnm และ Pnm แทนกรณีที่อนุภาคในวงโคจร m ปลดปล่อยโฟตอนและย้ายไปอยู่ในวงโคจร n

กลศาสตร์เมทริกซ์ได้รับการพิสูจน์ภายหลังว่าสมมูลกับสมการของชเรอดิงเงอร์

เวกเตอร์

เวกเตอร์ จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรีไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา บทความนี้มีเนื้อหาที่สั้นมาก ต้องการเพิ่มเติมเนื้อหา
บทความนี้เกี่ยวกับปริมาณทางคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เวกเตอร์ (แก้ความกำกวม)

แบบจำลองเวกเตอร์ในหลายทิศทางเวกเตอร์ (อังกฤษ: vector) ในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งมีลักษณะแตกต่างกับ สเกลาร์ ซึ่งเป็นจำนวนที่มีทิศทาง เวกเตอร์มีการใช้กันในหลายสาขานอกเหนือจากทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในทางวิทยาศาสตร์ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์

ตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรีไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (อังกฤษ: Trigonometric function) คือ ฟังก์ชันของมุม ซึ่งมีความสำคัญในการศึกษารูปสามเหลี่ยมและปรากฏการณ์ในลักษณะเป็นคาบ ฟังก์ชันอาจนิยามด้วยอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หรืออัตราส่วนของพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย หรือนิยามในรูปทั่วไปเช่น อนุกรมอนันต์ หรือสมการเชิงอนุพันธ์ รูปสามเหลี่ยมที่นำมาใช้จะอยู่ในระนาบแบบยุคลิด ดังนั้น ผลรวมของมุมทุกมุมจึงเท่ากับ 180° เสมอ

ในปัจจุบัน มีฟังก์ชันตรีโกณมิติอยู่ 6 ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันดังตารางข้างล่าง (สี่ฟังก์ชันสุดท้ายนิยามด้วยความสัมพันธ์กับฟังก์ชันอื่น แต่ก็สามารถนิยามด้วยเรขาคณิตได้)

ฟังก์ชัน ตัวย่อ ความสัมพันธ์
ไซน์ (Sine) sin
โคไซน์ (Cosine) cos
แทนเจนต์ (Tangent) tan
(หรือ tg)
โคแทนเจนต์ (Cotangent) cot
(หรือ ctg หรือ ctn)
ซีแคนต์ (Secant) sec
โคซีแคนต์ (Cosecant) csc
(หรือ cosec)

กฎความสัมพันธ์

กฎความสัมพันธ์ (อังกฤษ: Association Rules) เป็นกระบวนการหนึ่งในการทำ Data Mining ที่ได้รับความนิยมมาก โดยจะใช้ Association Rules ในการหาความสัมพันธ์ของข้อมูลสองชุดหรือมากกว่าสองชุดขึ้นไปภายในกลุ่มข้อมูลที่มีขนาดใหญ่ ในการหากฎความสัมพันธ์นั้นจะมีขั้นตอนวิธีการหาหลายวิธีด้วยกัน แต่ขั้นตอนวิธีที่เป็นที่รู้จักและใช้อย่างแพร่หลายคือ อัลกอริทึม Apriori

ตัวอย่างหนึ่งของ Association Rules ที่ใช้กันก็คือ Market Basket Analysis ที่ใช้ในการหาความสัมพันธ์ของสินค้าที่ลูกค้ามักจะซื้อพร้อมกัน เพื่อใช้ในการจัดรายการส่งเสริมการขาย

[แก้] หลักการพื้นฐานกฏความสัมพันธ์ (Association Rule) สามารถเขียนได้ในรูปเซ็ตของ Item ที่เป็นเหตุ ไปสู่เซ็ตของ Item ที่เป็นผล

โดยกำหนดให้

I ={ i1 , i2 ,…,im} เป็น set ของ Items

D ={t1 , t2 ,…,tm} เป็น set ของ Transaction ซึ่งแต่ละ Transaction ใน D จะมีหมายเลข Transaction ID ที่ไม่ซ้ำกันและกำหนดให้ t เป็น subset ของ I

ตัวอย่างเช่น รายการที่ลูกค้าซื้อสินค้าทั้งหมด 5 Transaction ซึ่งมีรายละเอียดดังตาราง

Transaction ID Milk Bread Butter Beer
1 1 1 0 0
2 0 1 1 0
3 0 0 0 1
4 1 1 1 0
5 0 1 0 0

จากนั้น นำข้อมูล Transaction มาสร้าง Co-Occerence Table หรือตารางนับความถี่ของเหตุการณ์ เพื่อหาความสัมพันธ์ว่าเหตุการณ์อะไรเกิดขึ้นคู่กับเหตุการณ์อะไร ดังนี้

Milk Bread Butter Beer
Milk 2* 2 1 0
Bread 2 4* 2 0
Butter 1 1 2* 0
Beer 0 0 0 1*

*เป็นการบอกว่ามีการซื้อสินค้านั้นกี่ครั้ง

จากนั้นจึงทำการสร้างกฎจากความสัมพันธ์ที่เป็นไปได้ โดยใช้ IF condition Then result เช่น

1.If Milk Then Bread

2.If Milk Then Butter เป็นต้น

ซึ่งจำนวนกฎที่เป็นไปได้ทั้งหมด จะคำนวณจากสมการ 2n-1 โดย n คือ จำนวนชนิดของ Items ทั้งหมด เช่น จากตารางมีจำนวนสินค้าทั้งหมด 4 ชนิด ดังนั้น จำนวนกฎที่เป็นไปได้ทั้งหมด คือ 24-1 = 15 กฎ กฎความสัมพันธ์ที่ได้ จะไม่ได้บอกว่าเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นก่อนหลัง เพียงแต่บอกว่าเหตุการณ์เหล่านั้น เกิดขึ้นด้วยกันเท่านั้น

[แก้] ตัวชี้วัดที่ใช้ในการหากฎที่มีความน่าสนใจ1.Support Factor เป็นค่าที่บ่งบอกว่าเหตุการณ์ A กับ B มีความถี่ในการเกิดขึ้นมากน้อยแค่ไหน

A → B : Support Factor =(A U B)

2. Confident Factor เป็นค่าที่บอกว่า เมื่อเกิดเหตุการณ์ B แล้ว มีโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A มากน้อยแค่ไหน

A → B : Confident Factor= P(A|B)

ระบบจำนวนจริง

การสร้างจากจำนวนตรรกยะจำนวนจริงสามารถสร้างเป็นส่วนสมบูรณ์ของจำนวนตรรกยะ สำหรับรายละเอียดและการสร้างจำนวนจริงวิธีอื่นๆดูที่ construction of real numbers (การสร้างจำนวนจริง)

[แก้] วิธีสัจพจน์ให้ R แทนเซตของจำนวนจริงทั้งหมด แล้ว

เซต R เป็นฟีลด์ หมายความว่ามีการนิยามการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติตามปกติ
ฟีลด์ R เป็นฟีลด์อันดับ หมายความว่ามีอันดับเชิงเส้น (total order) ≥ ซึ่งสำหรับทุกจำนวนจริง x y และ z:
ถ้า x ≥ y แล้ว x + z ≥ y + z
ถ้า x ≥ 0 และ y ≥ 0 แล้ว xy ≥ 0
อันดับนั้นมีความบริบูรณ์เดเดคินท์ (Dedekind-complete) กล่าวคือทุกสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่าง S ของ R ซึ่งมีขอบเขตบน ใน R มี ขอบเขตบนน้อยสุด ใน R
คุณสมบัติสุดท้ายนี้เป็นตัวแบ่งแยกจำนวนจริงออกจากจำนวนตรรกยะ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนตรรกยะที่มีกำลังสองน้อยกว่า 2 มีขอบเขตบน (เช่น 1.5) แต่ไม่มีขอบเขตบนน้อยสุดที่เป็นจำนวนตรรกยะ เพราะว่ารากที่สองของ 2 ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนจริงนั้นมีคุณสมบัติข้างต้นเป็นเอกลักษณ์ พูดอย่างถูกต้องได้ว่า ถ้ามีฟีลด์อันดับที่มีความบริบูรณ์เดเดคินท์ 2 ฟีลด์ R1 และ R2 จะมีสมสัณฐานฟีลด์ที่เป็นเอกลักษณ์จาก R1 ไปยัง R2 ทำให้เราสามารถมองว่าทั้งคู่เป็นวัตถุเดียวกัน

ตรรกศาสตร์

ตรรกศาสตร์ (อังกฤษ: logic – มีรากศัพท์จากภาษากรีกคือ λόγος, logos) เป็นการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล โดยมักจะเป็นส่วนสำคัญของวิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เป็นการตรวจสอบข้อโต้แย้งที่สมเหตุสมผล (valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies) ตรรกศาสตร์ เป็นการศึกษาที่มีมานานโดยมนุษยชาติที่เจริญแล้ว เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึ้นเป็นสาขาวิชาหนึ่งโดย อริสโตเติล

[แก้] ที่มาของคำคำว่า “ตรรกศาสตร์” ในปัจจุบัน เป็นศัพท์บัญญัติที่ใช้แทนแนวคิดเรื่อง Logic ในภาษาอังกฤษ ซึ่งมีรากศัพท์มาจากคำว่า λόγος (logos) ในภาษากรีก ที่มีความหมายเดิมว่าคำ หรือสิ่งที่ถูกกล่าว หลาย ๆ ประเทศที่ใช้อักษรโรมันในการเขียนก็มีศัพท์ที่พูดถึงแนวคิดนี้ในลักษณะชื่อที่คล้ายๆกัน

ในภาษาไทย เดิมมีคำนี้ใช้อยู่แล้ว ซึ่งน่าจะได้มาจากภาษาบาลี สันสกฤต (อย่างเช่นใน กาลามสูตร 10 ข้อ ที่ มีกล่าวไว้ว่าข้อหนึ่งว่า “อย่าเชื่อ เพราะ ได้คิดคำนึงเอาด้วย ตักฺกะ”) ซึ่งอาจจะมีความหมายไม่ตรงทีเดียวนักกับคำว่าตรรกศาสตร์ที่ใช้ในภาษาปัจจุบัน

เรขาคณิตวิเคราะห์

เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นคณิตศาสตร์แขนงหนึ่งที่กล่าวถึงจุดบนระนาบ (point and plane)

เรขาคณิตวิเคราะห์จึงแบ่งได้ดังนี้

1. ระบบพิกัดฉาก ประกอบด้วยเส้นตรง สองเส้นเส้นหนึ่งอยู่ในแนวนอน เรียกว่า แกน x อีกเส้นหนึ่งอยู่ในแนวตั้งเรียกว่าแกน y ทั้งสองเส้นนี้ตัดกันเป็นมุมฉาก และเรียกจุดตัดว่า จุดกำเนิด y ควอดรันต์ที่ II ควอดรันต์ที่ I (-,+) (+,+) x ควอดรันต์ที่ III ควอดรันต์ที่ IV (-,-) (+,-) 2. การหาระยะทางระหว่างจุด 2 จุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบ ระยะทางระหว่างจุด P และจุด Q หาได้โดย

PQ =  (x2-x1)2 + (y2-y1) 2

3. จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้า P(x1,y1) และ P(x2,y2) เป็นจุด 2 จุดในระนาบและให้ M(x,y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง P และ Q เราสามารถหาจุด M ได้ดังนี้

จุดกึ่งกลาง M คือ x1+ x2 , y1+ y2 2 2

4. สมการของเส้นตรง Q(x2,y2) 4.1 ความชัน(slop)=tan=m

Q(x1,y1)

ความชัน = m = y2 – y1 x2 – x1

4.2 สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (x1,y1) และมีความชันเท่ากับ m คือ

y – y1 = m(x – x1)

4.3 สมการเส้นตรงที่มี y -intercept เท่ากับ b และมีความชันเท่ากับ m คือ

y = mx + b

4.4 จาก 4.2 และ 4.3 สามารถเขียนสมการเส้นตรงใหม่ในรูปของ

Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรง 3x + 4y – 5 = 0 วิธีทำ 4y = -3x + 5 y = -(-3/4)x +(5/4)  ความชันคือ -3/4 4.5 เส้นตรง l1 ขนานกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1=m2 เส้นตรง l1 ตั้งฉากกับ l2 ก็ต่อเมื่อ m1m2 = -1

5. การหาระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง กำหนดให้ l เป็นเส้นตรงที่มีสมการ Ax + By + C = 0 และ P(x1,y1) เป็นที่อยู่นอกเส้น l ดังรูป

P(x1,y1) d l Ax + By + C = 0

ถ้า d เป็นระยะทางจากจุด P ไปยังเส้นตรง l

d = Ax1 + By1 + C  A2 + B2

พาราโบลา

พาราโบลา (อังกฤษ: parabola, กรีก: παραβολή) เป็นภาคตัดกรวยที่เกิดจากการตัดกันระหว่างพื้นผิวกรวยด้วยระนาบที่ขนานกับเส้นกำเนิดกรวย (generating line) ของพื้นผิวนั้น พาราโบลาสามารถกำหนดเป็นด้วยจุดต่าง ๆ ที่มีระยะห่างจากจุดที่กำหนด คือ จุดโฟกัส (focus) และเส้นที่กำหนด คือ เส้นไดเรกตริกซ์ (directrix)

พาราโบลาเป็นแนวคิดที่สำคัญในทฤษฎีคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ดี พาราโบลาสามารถพบได้บ่อยมากในโลกภายนอก และสามารถนำในใช้เป็นประโยชน์ในวิศวกรรม ฟิสิกส์ และศาสตร์อื่น ๆ

พาราโบลามีหลายรูปชนิด เช่นกรวยคว่ำกรวยหงาย บ้างทีตัดผ่าน 2 ช่อง บางทีตัดผ่าน 4 ช่อง แล้วแต่สมการที่มีการกำหนดมา ซึ่งจะเป็นชนิดให้ก็ได้แต่ไม่สามารถเป็นเส้นตรงๆได้เพราะจะไม่เรียกว่า พาราโบลา

เซต

เซต (คณิตศาสตร์) จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรีไปที่: ป้ายบอกทาง, ค้นหา สำหรับความหมายอื่น ดูที่ เซต (แก้ความกำกวม)

อินเตอร์เซกชันของเซตสองเซต คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเซตทั้งสองเซต ดังแสดงในแผนภาพเวนน์เซต (อังกฤษ: set) ในทางคณิตศาสตร์นั้น อาจมองได้ว่าเป็นการรวบรวมกลุ่มวัตถุต่างๆ ไว้รวมกันทั้งชุด แม้ว่าความคิดนี้จะดูง่ายๆ แต่เซตเป็นแนวคิดที่เป็นรากฐานสำคัญที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ การศึกษาโครงสร้างเซตที่เป็นไปได้ ทฤษฎีเซตมีความสำคัญและได้รับความสนใจอย่างมากและกำลังดำเนินไปอย่างต่อเนื่อง มันถูกสร้างขึ้นมาตอนปลายคริสต์ศตวรรษที่19 ตอนนี้ทฤษฎีเซตเป็นส่วนที่ขาดไม่ได้ในการศึกษาคณิตศาสตร์ และถูกจัดไว้ในระบบการศึกษาตั้งแต่ระดับประถมศึกษาในหลายประเทศ ทฤษฎีเซตเป็นรากฐานของคณิตศาสตร์เกือบทุกแขนงซึ่งสามารถนำไปประยุกต์ใช้ได้

การแก้สมการเชิงเส้นสองตัวแปร

ตัวอย่างที่ 1 จงแก้ระบบสมการ x + y = 5 และ x – y = – 7
วิธีทำ 1. ให้นักเรียนเขียนสมการแรกเป็นสมการที่ ( 1 )
สมการสองเป็นสมการที่ ( 2 )
ดังนั้น x + y = 5 ……………… ( 1 )
x – y = – 7 ……………. ( 2 )
2. ให้นำสมการที่ ( 1 ) และ ( 2 ) มาบวกหรือลบกันโดยนำจำนวนทางซ้ายและขวา
ของเครื่องหมายเท่ากับมาบวกหรือลบกัน เพื่อต้องการกำจัดตัวแปรใดตัวแปรหนึ่ง ดังนี้
( 1 ) + ( 2 ) จะได้ ( x + y ) + ( x – y ) = 5 + ( – 7 )
( 1 ) – ( 2 ) จะได้ ( x + y ) – ( x – y ) = 5 – ( -7 )
3. จะได้สมการที่อยู่ในรูปตัวแปร x หรือ y เพียงอย่างเดียว ดังนี้
( 1 ) + ( 2 ) จะได้ ( x + y ) + ( x – y ) = 5 + ( – 7 )
x + y + x – y = – 2
2x = – 2
x = – 1
4. นำค่า x หรือ y ที่ได้ในข้อ 3. ไปแทนค่าในสมการ ( 1 ) หรือ ( 2 ) ดังเช่น
นำค่า x = – 1 ไปแทนค่าในสมการที่ ( 1 ) จากสมการ x + y = 5
จะได้ – 1 + y = 5
y = 5 + 1
y = 6
ตรวจคำตอบ แทนค่า x ด้วย – 1 และ แทนค่า y ด้วย 6 ในสมการ ( 1 ) และ ( 2 )
จะได้ ( – 1 ) + 6 = 5 เป็นจริง
( – 1 ) – 6 = – 7 เป็นจริง
ดังนั้น ( – 1 , 6 ) เป็นคำตอบของระบบสมการนี้
หมายเหตุ การเขียนคู่อันดับที่เป็นคำตอบของสมการ โดยทั่วไปนิยมเขียนสมาชิกตัวหน้า
และสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับเรียงตามลำดับตัวอักษรที่เป็นตัวแปรในสมการ

ความน่าจะเป็น

ทฤษฎีความน่าจะเป็น คือการศึกษาความน่าจะเป็นแบบคณิตศาสตร์

นักคณิตศาสตร์จะมองความน่าจะเป็นว่าเป็นตัวเลขระหว่างศูนย์กับหนึ่ง ที่กำหนดให้กับ “เหตุการณ์” (ความน่าจะเป็นที่เท่ากับ 0 ก็คือไม่มีโอกาสที่เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้น แต่ถ้าความน่าจะเป็นเท่ากับ 1 แสดงว่าเหตุการณ์เหล่านั้นเกิดขึ้นได้อย่างแน่นอน) ที่เกิดขึ้นแบบสุ่ม ความน่าจะเป็น ถูกกำหนดให้กับเหตุการณ์ ตามสัจพจน์ของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ จะเกิดขึ้น เมื่อ กำหนด ให้อีกเหตุการณ์ เกิดขึ้น เรียกว่าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไข ของ เมื่อให้ โดยค่าความน่าจะเป็นคือ (เมื่อ ไม่เป็นศูนย์) ถ้าความน่าจะเป็นมีเงื่อนไขของ เมื่อให้ มีค่าเช่นเดียวกับความน่าจะเป็น (แบบไม่มีเงื่อนไข) ของ เราจะกล่าวว่าเหตุการณ์ และ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระต่อกันเชิงสถิติ เราจะสังเกตได้ว่าความสัมพันธ์นี้เป็นความสัมพันธ์สมมาตร ทั้งนี้เนื่องจากการเป็นอิสระต่อกันนี้เขียนแทนได้เป็น .

แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือตัวแปรสุ่มและการแจกแจงความน่าจะเป็น โปรดดูบทความหลักสำหรับข้อมูลเพิ่มเติม

ทฤษฎีความน่าจะเป็นมีหลายแนวคิด แนวคิดหนึ่งที่ได้รับความนิยมมากในสาขาปัญญาประดิษฐ์ และเศรษฐศาสตร์คือ ทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบเบย์